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Lumerical MODEのバリエーショナル FDTD(VarFDTD)ソルバーは、リッジ導波路を用いたシステムからフォトニック結晶のような複雑な形状のものまで、さまざまな導波路構造における光の伝搬を効率的にシミュレートします。このソルバーは、ビーム伝搬法に比べて光学的に大きな部品の性能を正確に予測することができ、最適化された計算エンジンと相まって、平面集積光学部品や回路の仮想プロトタイピングおよび最適化に適したロバストな導波路設計環境となっています。

背景

FDTD(Finite-Difference Time-Domain)法は、ナノスケールの部品における光の伝搬をシミュレートするための最も汎用的で正確な手法の一つです。しかし、FDTDを 3 次元構造に適用すると、計算量が非常に多くなり大型の集積光学部品を効率的に扱うことが難しくなります。長い距離を伝播する波のシミュレーションにはいくつかの代替手法があります。よく知られている Beam Propagation Method(BPM)は、ゆっくりと変化する包絡線の仮定に基づいており、大きな構造をすばやくシミュレーションできます。ただし、広角での伝搬や屈折率のコントラストが高い部品では精度が低下します。より厳密な固有モード展開法(EME)は双方向の伝搬を扱うのに最適ですが、十分な精度を得るためには多くのモードを必要とするため全方向の伝搬をシミュレートするには非効率的です。 Lumerical MODEのVarFDTDは、従来の伝搬法とは異なり、光軸やデバイスの形状、使用する材料などを一切仮定することなく、平面導波路システムにおける線形および非線形現象を広帯域にモデリングすることができます。平面導波路コンポーネントの場合、VarFDTDは、2D FDTD 法と同等のシミュレーション時間とメモリのみを必要とし、3D FDTD 法に匹敵する精度と汎用性を提供します。固有モードソルバーと双方向固有モード展開(EME)ソルバーとを組み合わせることで、Lumerical MODEは大規模集積光学部品の仮想プロトタイピングに最適なツールとなり、高価で時間のかかる製造試作品の必要性を低減します。

全方位の面内伝搬において、速度と精度の最適なトレードオフを提供するvarFDTD

varFDTD ソルバーは、光学的に大きな平面集積光学部品において全方向の光伝搬をシミュレートするのに最適です。この手法では、図1に示すように、垂直導波路構造を材料分散と導波路分散を同時に考慮した実効的な分散材料に変換することで、3次元の問題を実質的な 2 次元の問題に還元します。

垂直スラブモード
図1:垂直スラブモードは3次元の平面形状を2次元の実効的な分散材料のセットに落とし込むために用いられます

現在、varFDTDソルバーで3次元形状を落とし込むには2つのアプローチがあります。

  1. Hammer and Ivanova [1]に基づく変形手順
  2. 相反定理に基づく手順(Snyder and Love [2]に記載)

いずれの場合も、垂直導波路構造でサポートされる異なるスラブモード間のカップリングを無視できることが重要な前提となります。SOIベースのスラブ導波路構造のように、偏波の異なる 2つの垂直モードしかサポートしていない多くのデバイスでは、これは非常に良い仮定となります。このような場合、VarFDTDは2次元FDTDシミュレーションと同等のシミュレーション時間とメモリで3次元FDTDと同等の結果を得ることができます。これにより設計者は多くの設計パラメータを効率的に繰り返し検討することができ、また3D FDTDでは大きすぎて処理できない部品をシミュレートすることも可能になります。

リング共振器の例:3Dの精度を2Dの計算速度で

ここでは、シンプルなリング共振器を使ってLumerical MODEのVarFDTD ソルバーの動作をデモンストレーションします。

リング共振器
図2: 4ポートのリング共振器

Lumerical MODEは、3D形状を実効的な材料の2Dセットへと自動的に落とし込みます。生成された実効的な材料も分散性をもちます。分散は元の材料の特性とスラブ導波路の形状の両方に由来することに注意してください。その後、生成された材料はANSYS社独自の Multi- Coefficient Materials モデルを用いて、FDTDアルゴリズムによるシミュレーションに適した形にフィットされます。

垂直スラブのモードプロファイル
図3: (左)導波路分散は垂直スラブのモードプロファイルに見られます(垂直方向の寸法z と波長の関数として示されています) (右)生成された実効的な材料にはスラブ導波路の形状による導波路分散とシリコンの材料分散の両方が含まれています

実質的な2Dの材料が生成されると、ANSYS社の最適化された計算アクセレーターを使用して2D FDTDシミュレーションを進めることができます。これにより、マルチコアのプロセッサやマルチノードのハイパフォーマンスコンピューティングシステム上での並列計算が可能になります。

実効的2D材料を用いた 2DFDTD シミュレーション
図4: 実効的2D材料を用いた 2DFDTD シミュレーションでは時間領域における1 回のシミュレーションで広帯域の応答が得られます

内蔵された固有モード展開モニターを用いると、任意の導波路モードへの高分解かつ高精度な広帯域透過データが一度のシミュレーションで得られます。スルーポート位置の基本モードへと伝送された信号を図5に示します。表1に示されるように、
VarFDTDは 3D FDTDの結果と非常によく一致し、100倍高速であることがわかります。また、図5では2D FDTD(ここでの屈折率は単に垂直スラブモードの実効屈折率になります)と 3D FDTDを比較していますが、その一致は不十分であることがわかります。特に、このようなシミュレーションで通常抽出される重要な量である帯域幅とFSR(フリースペクトルレンジ)は、VarFDTD では非常に正確に計算されますが、標準的な 2D FDTDではそうはなりません。VarFDTD、2D FDTD、および3D FDTDの比較を容易にするため、図 5 の両方の図では、VarFDTD および 2D FDTD の透過スペクトルの中央ピークが 3D FDTD の結果と一致するようにシフトされています。現実にはこのピークの正確な位置調整は熱的なチューニングによって実現できます。

 VarFDTD シミュレーションと 3D FDTD シミュレーションで得られたスルーポートにおける基本モードへの透過率
図 5:(左) VarFDTD シミュレーションと 3D FDTD シミュレーションで得られたスルーポートにおける基本モードへの透過率 (右)標準的な2次元FDTD近似と3次元FDTDから得られた結果を示したグラフ
シミュレーション・タイプメモリ2010 年モデルの Intel Core i7 マシンでの処理時間
2D FDTD15MB約12秒
2.5D FDTD18MB約15秒
3D FDTD338MB約150 秒
表1 :リング共振器の例で必要なシミュレーション時間とメモリのまとめ。この場合、2D FDTD および VarFDTD は3D FDTD の約 100 倍の速度で実行されます

VarFDTD ソルバーで得られる計算の精度と速度に基づけば、Lumerical MODEを用いるとリング共振器の最適化を大きく前進させることができます。またリング共振器やその他のシリコンフォトニックデバイスのシミュレーションでは、通常、より大きなシミュレーション領域と長いシミュレーション時間が必要となるため、VarFDTD ソルバーはこのレベルの複雑さの設計を最適化するのに非常に重要な役割を果たします。

幅広いアプリケーションに対応できる汎用性をもつvarFDTD

平面テーパー:

VarFDTDソルバーを用いると、広いテーパーが有する複数のモードへの広帯域伝送を正確に決定することが簡単にできます。垂直構造を実効的なスラブへと落としこむ方法はテーパーのような広い領域では完全にうまく機能するため、導波路スラブ内の光の伝搬に対する近似は行われず、このバリエーショナルFDTD処理で3D FDTDに非常に近い結果を得ること
ができます。

SOI導波路テーパーのVarFDTDシミュレーション
図6: SOI導波路テーパーのVarFDTDシミュレーション。テーパーの形状はw(x)=[α(L-x)
]^m+w_2 でパラメータ化し,Lumerical MODEに搭載されている最適化フレームワークを用いて最適化されています。
偶数TE モードへの透過率
図7:波長 1550nmにおける導波路2の最初の5つの偶数TE モードへの透過率を示しています。

アレイ型導波路グレーティング(AWG):

AWG は光ネットワークにおける高密度な波長分割多重化に不可欠なデバイスです。これらデバイスのサイズと複雑さおよび位相誤差に対する感度は、多くの伝搬法にとってAWGを(計算)困難なものにする可能性があります。Lumerical MODEの VarFDTD ソルバーを使えば、1 回のシミュレーションで正確な広帯域の結果を得ることができます。

 VarFDTDソルバーを使用してシミュレートした AWGの出力スターカプラで、波長に依存した分波の様子が見られます
図8: VarFDTDソルバーを使用してシミュレートした AWGの出力スターカプラで、波長に依存した分波の様子が見られます。これらの結果はすべて時間領域での1回のシミュレーションから得られたものです。

非線形導波路:

導波路の非線形効果をシミュレートするには、長いシミュレーション時間と伝搬距離が必要になることがよくあります。VarFDTDソルバーとLumerical MODEが提供するflexible material pluginsとを組み合わせることで、線形効果と非線形効果の相互作用を正確に捉えながら、長距離の波動伝播を効率的にシミュレートすることができます。Flexible material pluginsはオープンなフレームワークで構築されています。そしてエンドユーザーは独自のニーズに合わせたモデルをネイティブの C/C++/FORTRAN で書く動的リンクライブラリ・プラグインとして開発することができます。これらのプラグインは、多係数材料モデルと組み合わせて使用することで、図9に示すような複雑な非線形材料をシミュレートすることができます。

非線形リング共振器における4光波混合(FWM)
図9: 非線形リング共振器における4光波混合(FWM)の 2.5 次元 FDTD シミュレーション(左)スルーとドロップの出力 (右)ポンプ光、信号光、変換光を示すスペクトル

結論

Lumerical MODEの VarFDTD ソルバーは、導波路部品における広帯域/全方向光伝搬をシミュレートするための汎用ソルバーです。異なるスラブモード間の結合が無視できる平面形状の場合、VarFDTD は2D FDTDのシミュレーション時間とメモリのみで、3D FDTD に匹敵する結果を得ることができます。Lumerical MODEの固有モードソルバーおよび双方向固有モード展開(EME)ソルバーを組み合わせることで、Lumerical MODEは大規模集積光学部品の仮想プロトタイピングに最適なツールとなり、高価で時間のかかる製造試作品の必要性を低減します。

参考文献

[1] Manfred Hammer and Olena V. Ivanova, MESA Institute for Nanotechnology, University of Twente, Enschede, The Netherlands “Effective index approximation of photonic crystal slabs: a 2-to-1-D assessment”, Optical and Quantum Electronics ,Volume 41, Number 4, 267-283, DOI: 10.1007/s11082-009-9349-3.
[2] Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. Chapman & Hall, London, England, 1983.